Source: The Conversation – (in Spanish) – By Daniel Martín-Cudero, Profesor del área de Didáctica de la Matemática, Universidad Rey Juan Carlos
A comienzos del siglo XX, las matemáticas atravesaron una crisis de identidad. Los matemáticos de la época estaban intentando construirlas sobre bases completamente rigurosas, mediante reglas lógicas que permitieran saber exactamente qué podía demostrarse y qué no.
Cuanto más intentaban precisar los fundamentos de su disciplina, más difícil resultaba responder a una pregunta aparentemente elemental: ¿qué objetos matemáticos podemos admitir y qué reglas podemos utilizar para razonar sobre ellos sin correr el riesgo de llegar a una contradicción?
La idea de partida parecía casi imposible de discutir. Si tenemos una propiedad bien definida, podemos reunir en un conjunto todos los objetos que poseen esa propiedad. Por ejemplo, podemos hablar del conjunto de los números pares o del conjunto de los números primos. Pero ¿qué ocurre cuando la propiedad que utilizamos para definir un conjunto habla de los propios conjuntos?
Para entender el problema, pensemos en una historia que hoy resulta casi un clásico de la lógica.
En un pueblo, hay un barbero que afeita solamente a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos. Entonces, ¿se afeita el barbero a sí mismo? Si se afeita, entonces deja de cumplir la regla. Ya no sería un hombre que no se afeita a sí mismo. Por tanto, no debería afeitarse. Pero si no se afeita, entonces cumple la regla y, por tanto, debería afeitarse.
En cualquiera de los dos casos, aparece una contradicción. No hay ninguna respuesta que permita mantener la regla.
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Justamente esta historia fue utilizada posteriormente como una forma sencilla de ilustrar la pregunta que el filósofo y matemático británico Bertrand Russell planteó en 1901 y que hizo tambalear los cimientos de las matemáticas de la época:
¿Existe el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos?
Para entender de dónde surge esta pregunta y por qué llegó a resultar tan problemática, hay que remontarse unas décadas hasta uno de los grandes cambios de las matemáticas del siglo XIX: el intento de convertir el infinito en un objeto que pudiera estudiarse con precisión.
Georg Cantor y el infinito
El infinito había sido antes más una fuente de problemas filosóficos que un objeto matemático que pudiera estudiarse con precisión. Hasta que el matemático alemán Georg Cantor comenzó a tratarlo como una cuestión estrictamente matemática.
Cantor desarrolló la teoría de conjuntos y demostró que los infinitos no son todos iguales. Por extraño que parezca, hay tantos números naturales como números pares, aunque intuitivamente parece que debería haber menos pares. Esto ocurre porque podemos emparejar cada natural con su correspondiente par: 1 con 2, 2 con 4, 3 con 6, y así sucesivamente, sin que sobren números naturales.
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Más sorprendente todavía: Cantor demostró que existen infinitos de distintos tamaños y que, dado cualquier conjunto, siempre es posible construir otro que tenga más elementos.
La teoría de conjuntos de Cantor empezó, así, a convertirse en una especie de lenguaje universal de las matemáticas. Su atractivo estaba precisamente en su sencillez. Un conjunto era, en esencia, una colección de objetos.
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El problema surgió cuando esa sencillez se llevó demasiado lejos. Si cualquier propiedad bien definida permitía reunir en un conjunto todos los objetos que la cumplían, también podían construirse colecciones cuya definición hablara de otras colecciones, incluida ella misma. Y aquí es donde la pregunta de Russell adquiere todo su sentido.
La paradoja de Russell
Llevemos la historia del barbero al lenguaje de los conjuntos. En lugar de un barbero que afeita a determinados hombres, imaginemos un conjunto que reúne exactamente a todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos. Llamémoslo R.
La pregunta vuelve a ser la misma, aunque ahora en términos matemáticos: ¿el conjunto R pertenece a R?
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Si R pertenece a R, entonces no debería pertenecer. Al fin y al cabo, R solo puede contener conjuntos que no pertenecen a sí mismos.
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Pero si R no pertenece a R, entonces cumple precisamente la condición que define a R. Por tanto, debería pertenecer a R.
Estamos atrapados en el mismo círculo que con el barbero: si pertenece, no pertenece; y si no pertenece, pertenece. Esta es la paradoja de Russell.
Para las matemáticas de comienzos del siglo XX, aquello era un problema serio. La teoría de conjuntos se había convertido en una herramienta fundamental y, de repente, una de sus ideas más intuitivas podía conducir directamente a una contradicción.
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Gottlob Frege y el logicismo
Russell comprendió pronto que la paradoja no afectaba solo a sus propias investigaciones. También golpeaba directamente el trabajo de uno de los lógicos más importantes de su tiempo: Gottlob Frege.
Frege dedicó gran parte de su carrera a demostrar que las matemáticas podían construirse a partir de la lógica. Era el proyecto conocido como logicismo.
La idea, simplificada, era que los números y las operaciones aritméticas no debían aceptarse como verdades intuitivas sin más. Frege quería mostrar que podían definirse y justificarse mediante reglas lógicas precisas, partiendo de unos principios básicos.
Para hacerlo necesitaba, entre otras cosas, una teoría rigurosa de los conceptos y de los conjuntos. Y ahí estaba precisamente el problema. El sistema de Frege permitía asociar a cada concepto una extensión: la colección de objetos que caían bajo dicho concepto. Por ejemplo, al concepto “ser un número par” le correspondía la colección de todos los números pares.
Pero la paradoja de Russell mostraba que, si ese procedimiento se aplicaba sin las restricciones adecuadas, podía construirse la colección de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos.
La consecuencia era devastadora para el proyecto de Frege. Las propias reglas que debían servir para construir unas matemáticas completamente rigurosas podían conducir a una contradicción.
La carta
Russell se dio cuenta de que debía comunicarle el problema. En junio de 1902 le escribió una carta explicándole la paradoja. Frege estaba entonces preparando el segundo volumen de su obra Grundgesetze der Arithmetik, precisamente el libro en el que pretendía llevar más lejos su proyecto de fundamentar la aritmética en la lógica. Es difícil imaginar un momento peor para recibir una carta semejante.
Frege no ignoró el problema ni trató de esconderlo. Al contrario: incorporó la paradoja a la obra que estaba a punto de publicar y reconoció que obligaba a modificar uno de los principios fundamentales de su sistema.
Y había una razón especialmente preocupante detrás de todo esto: si nuestras reglas permiten demostrar a la vez que una cosa es verdadera y que no lo es, entonces dejan de servir como garantía de que una demostración matemática nos está llevando hacia la verdad.
El problema no era, por tanto, que hubiera aparecido un conjunto extraño. Lo que estaba en juego era la confianza en las propias reglas con las que se construían las matemáticas.
Entonces, ¿Russell destruyó las matemáticas?
No, pero obligó a reconstruir una parte de sus cimientos. La salida no fue abandonar la teoría de conjuntos, sino encontrar formas más cuidadosas de limitar qué conjuntos podían construirse. De hecho, la primera respuesta vino del propio Russell.
Si el problema aparece porque estamos mezclando niveles: objetos, conjuntos de objetos, conjuntos de conjuntos, etc., quizá haya que impedir determinadas formas de autorreferencia. De ahí surgió su famosa teoría de tipos.
La idea, simplificada, es construir una jerarquía. En un nivel tenemos objetos, en otro, conjuntos de objetos, y en otro, conjuntos de conjuntos. Y no podemos permitir que cualquier objeto pueda pertenecer a cualquier otro objeto sin restricciones. La expresión “pertenece a sí mismo” deja así de ser una operación permitida en el sistema que origina la paradoja.
Russell desarrolló esta idea en los años siguientes y la incorporó, junto con Alfred North Whitehead, a una de las obras monumentales de la historia de la lógica: Principia Mathematica, publicada en tres volúmenes entre 1910 y 1913.
Pero no fue la única solución. Otra vía consistió en cambiar las reglas que permiten construir conjuntos. El matemático alemán Ernst Zermelo publicó, en 1908, una axiomatización de la teoría de conjuntos que restringía la posibilidad de formar conjuntos arbitrariamente. En lugar de decir que cualquier propiedad determina un conjunto, las nuevas reglas establecían condiciones mucho más cuidadosas sobre qué conjuntos pueden construirse.
Más tarde, Adolf Abraham Fraenkel, Thoralf Skolem y otros matemáticos contribuyeron al desarrollo de sistemas axiomáticos que desembocarían en las formulaciones modernas de la teoría de conjuntos. La teoría Zermelo-Fraenkel junto con el axioma de elección, en la formulación conocida como ZFC, constituyen hoy uno de los marcos estándar para fundamentar las matemáticas.
¿Se solucionó la paradoja?
En cierto sentido, sí. Los sistemas matemáticos modernos no permiten construir el conjunto de Russell de la manera ingenua que originaba la contradicción.
Sin embargo, la paradoja dejó una lección más profunda: no podemos dar por supuesto que cualquier descripción bien formulada corresponde a un objeto matemático existente. Ese cambio de perspectiva fue enorme. Antes parecía natural pensar: “si puedo describirlo, puedo construirlo”. Después de Russell, sabemos que eso es demasiado peligroso.
¿Y qué tiene que ver todo esto con nosotros?
Hoy vivimos rodeados de sistemas que funcionan mediante reglas. Un programa informático es un conjunto de instrucciones. Un algoritmo es un procedimiento. Una base de datos clasifica información siguiendo criterios definidos. Un modelo matemático representa determinados aspectos del mundo. Y un sistema de inteligencia artificial puede procesar enormes cantidades de información siguiendo estructuras formales y procedimientos computacionales.
La paradoja de Russell no demuestra que una IA vaya a caer necesariamente en una contradicción. Tampoco demuestra que una máquina no pueda razonar sobre sí misma. Lo que sí nos enseña es que todo sistema construido con reglas precisas tiene límites: puede haber preguntas sobre su propio funcionamiento que no sea capaz de resolver desde dentro.
Estos límites fueron explorados unas décadas después por otros dos grandes nombres de la lógica del siglo XX: Kurt Gödel y Alan Turing.
Gödel mostró que, bajo determinadas condiciones, un sistema formal suficientemente potente puede contener afirmaciones que no puede demostrar utilizando únicamente sus propias reglas. Y Turing, por su parte, probó que existen problemas para los que no puede existir un algoritmo general capaz de encontrar siempre una respuesta.
La paradoja de Russell no había demostrado ninguna de estas dos cosas, pero había ayudado a poner sobre la mesa una cuestión que se volvería central en la lógica moderna: los sistemas formales tienen límites. Quizá, por eso, siga siendo tan fascinante más de un siglo después. No porque sea una rareza de los libros de teoría de conjuntos, sino porque contiene una lección mucho más general.
Las reglas importan tanto como los objetos que describen. Y, cuanto más poderoso es un sistema, más importante resulta conocer aquello que sus propias reglas no pueden hacer.
Daniel Martín-Cudero no recibe salario, ni ejerce labores de consultoría, ni posee acciones, ni recibe financiación de ninguna compañía u organización que pueda obtener beneficio de este artículo, y ha declarado carecer de vínculos relevantes más allá del cargo académico citado.
– ref. La paradoja de Russell: una contradicción que puso en jaque los fundamentos de las matemáticas – https://theconversation.com/la-paradoja-de-russell-una-contradiccion-que-puso-en-jaque-los-fundamentos-de-las-matematicas-291804
Original source: https://submissions.mil-osi.com/2026/11/10/la-paradoja-de-russell-una-contradiccion-que-puso-en-jaque-los-fundamentos-de-las-matematicas-291804/