Source: The Conversation – (in Spanish) – By Raquel Villacampa Gutiérrez, Doctora y profesora de Geometría y Topología, Universidad de Zaragoza
¿Por qué éste Mundial tiene 48 equipos? ¿Por qué en unas ediciones pasan terceros de grupo a las rondas eliminatorias y en otras no? Aunque pueda parecer una decisión puramente deportiva, la respuesta depende de unas reglas matemáticas muy concretas. Detrás del mayor torneo de fútbol del mundo se esconden múltiplos de cuatro, potencias de dos y algunos problemas clásicos de combinatoria.
Las matemáticas están en todas partes y en el deporte son fundamentales tanto en su diseño como en las estadísticas o estrategias que idean los entrenadores para ganar. En el caso del Mundial de fútbol, hay unos números muy concretos que rigen su desarrollo.
Puntos al ganador
Desde 1986, los equipos seleccionados juegan en primer lugar la llamada fase de grupos, en la que se constituyen grupos formados por 4 equipos. Estos juegan todos contra todos y tras acabar los 6 partidos posibles se ordenan según puntuación.
Cada partido (desde el mundial de EE UU de 1994) suma 3 puntos al ganador y 0 al perdedor, o bien 1 punto a cada equipo en caso de empate. Con estos criterios, cada grupo finaliza esta fase con una ordenación de sus 4 equipos, colocando en primera posición a aquel que ha obtenido mayor puntuación, y así sucesivamente.
Una vez finalizada la fase de grupos, los 2 o 3 equipos mejores de cada grupo entran en las rondas eliminatorias en las que se disputan varios partidos simultáneamente, cada uno de los cuales enfrenta a dos equipos en un único partido.
El ganador de cada uno de estos partidos pasa a la ronda siguiente, que se rige por el mismo procedimiento que la anterior, pero con la peculiaridad de que ahora solo participan la mitad de los equipos que había en la ronda anterior.
Cuando solo quedan 4 equipos, se juegan 2 semifinales: los ganadores de las mismas disputan la final (y de allí se obtienen el campeón y el subcampeón del mundial) y los perdedores se disputan el tercer puesto.
A partir de esta base, las matemáticas obligan a determinados sucesos.
¿Cuántos equipos participan en un mundial?
Este número no es fijo y ha ido modificándose a lo largo de los años. Si nos fijamos en los mundiales que tienen la misma estructura que el actual, se ha pasado de 24 (EE UU 1994) a 32 (Francia 1998 – Catar 2022) hasta alcanzar los 48 equipos en el mundial actual. Nos podemos preguntar qué tienen en común estos números, 24, 32 y 48, o porqué se han elegido precisamente esos y no otros.
La respuesta la encontramos en la fase de grupos: el número inicial de participantes debe ser múltiplo de 4 para que sea posible formar grupos de 4 equipos. De este modo, con 24 equipos se forman 6 grupos; con 32 se forman 8 grupos; y con 48 aparecen 12 grupos.
Como vemos, podría haber mundiales con 28 equipos, 36, 40… siempre y cuando se mantengan los grupos de 4 participantes en la fase de grupos. No parece que vaya a haber cambios en esto: la estructura de grupos de 4 equipos se mantiene desde 1950, aunque el desarrollo tras la fase de grupos se ha visto modificado.
¿Cuántos terceros de grupo pasan a las fases eliminatorias tras la fase de grupos?
En el mundial de 1994, además de los 2 primeros de cada grupo, pasaron los 4 mejores terceros de los 6 grupos.
Entre los años 1998 y 2022 no pasó ningún tercero de grupo a la siguiente fase, mientras que este año han sido 8 terceros quienes han pasado a las rondas eliminatorias. ¿Por qué este número va cambiando?
En este caso la clave no está en el número 4, sino en el 2.
Para entenderlo hagamos el recorrido inverso: desde la final del mundial hasta la fase de grupos, recordando que en cada ronda hay el doble de equipos que en la ronda anterior.
La final se la disputan 2 equipos; en las semifinales participan 4; en los cuartos de final hay 8 y en los octavos de final hay 16.
Recordamos que el mundial de 2026 es el primero de la historia en el que se han jugado los dieciseisavos de final, con 32 equipos. Los números 2, 4, 8, 16 y 32 son potencias de 2 pues se consiguen como 2¹ , 2² , 2³ , 2⁴ y 2⁵ respectivamente, siendo cada número doble que el anterior.
Es decir, para entrar en las rondas eliminatorias necesitamos tener un número de equipos clasificados que sea potencia de 2. Si solo se permite que pasen 2 equipos por grupo, puede que no consigamos estos números, ya que va a depender del número de grupos que tengamos. Esto es lo que pasó en 1994, cuando había 6 grupos. Al clasificar 2 equipos por grupo (los 2 primeros), se tienen 12 equipos para las rondas eliminatorias. Como el número 12 no es potencia de 2 fue necesario añadir 4 equipos más (los mejores terceros) para alcanzar el número 16 y poder así iniciar los octavos de final.
Entre 1998 y 2022, con 32 equipos en el mundial no hubo necesidad de elegir a ningún tercero pues directamente con 2 seleccionados por grupo se llegó a los 16 equipos que jugaron los octavos de final.
Este año, se han jugado los dieciseisavos de final, por lo que fue necesario seleccionar 32 equipos tras la fase de grupos. Para alcanzar este número, partiendo de los 48 equipos iniciales repartidos en 12 grupos, se han tenido que seleccionar 8 terceros, que junto a los 24 que vienen de los primeros y segundos de cada grupo hacen los 32 necesarios para los dieciseisavos de final.
Un mundial con 64 equipos (2⁶ ) no necesitaría recurrir a los terceros de cada grupo. ¿Lo veremos dentro de unos años?
Como dato adicional, los 4 torneos del Gram Slam de tenis (Roland Garros, Wimbledon, Abierto de Australia y Abierto de Estados Unidos) se rigen únicamente por rondas eliminatorias y participan 128 (2⁷ ) tenistas en cada cuadro (masculino y femenino).
¿Cuántos puntos puede sumar un equipo en la fase de grupos?
Debemos recordar que cada equipo juega 3 partidos y en cada uno de ellos puede sumar 3 puntos si gana (G), 1 punto si empata (E) o 0 puntos si pierde (P). Por tanto, para responder a esta pregunta debemos averiguar cuántos partidos podemos ganar, empatar o perder si jugamos 3 y luego sumar los puntos asociados a cada posibilidad encontrada. En esta situación no es importante el orden en el que suceden las victorias o derrotas, tan solo importa cuál ha sido el resultado final de los 3 partidos.
El conteo de opciones posibles en un determinado problema es algo habitual en la investigación matemática. La disciplina que lo analiza es la combinatoria y es en general difícil de abordar. Para los problemas combinatorios, como es este que nos ocupa, es importante disponer de una estrategia para asegurarnos de no perder ningún caso ni de repetir ninguno en el conteo. En nuestro problema, contaremos cuántos partidos se pueden ganar (tres, dos, uno y cero) y para cada caso, qué sucede con aquellos que no ganamos, comenzando siempre con el empate. Así, obtenemos la siguiente secuencia de opciones ordenadas de mayor a menor, entendiendo por mayor ganar el partido y por menor perder el partido.
El resultado más bajo posible
Ningún equipo puede obtener nunca 8 puntos en la fase de grupos y 3 puntos se pueden obtener de dos formas distintas: ganando 1 partido y perdiendo 2 o empatando los 3 partidos.
Una pregunta bastante más difícil es averiguar cuáles pueden ser las puntuaciones finales posibles de los 4 equipos al finalizar la fase de grupos, es decir, cómo se pueden agrupar, siguiendo las reglas de puntuación, los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 9 en grupos de 4.
No todas las posibilidades son válidas ya que hay que tener en cuenta, por ejemplo, que si un equipo ha ganado un partido es porque otro equipo lo ha perdido.
En el gráfico se muestran todos los resultados obtenidos por los 74 grupos desde 1994 junto a su frecuencia. El grupo que obtuvo el resultado más bajo fue el grupo E (México, Irlanda, Italia y Noruega) en el mundial de 1994: sus cuatro integrantes obtuvieron 4 puntos, correspondiente a ganar 1 partido y empatar otro, y solo ha ocurrido una única vez.
Dejamos como pregunta abierta: ¿existe alguna combinación de puntos inferior a la (4,4,4,4) con el sistema de puntuaciones actual? ¡Hagamos matemáticas!
Raquel Villacampa Gutiérrez no recibe salario, ni ejerce labores de consultoría, ni posee acciones, ni recibe financiación de ninguna compañía u organización que pueda obtener beneficio de este artículo, y ha declarado carecer de vínculos relevantes más allá del cargo académico citado.
– ref. Las matemáticas del Mundial de fútbol 2026 – https://theconversation.com/las-matematicas-del-mundial-de-futbol-2026-287194